Chebyshev-Ungleichung Rechner: Risiko außerhalb & Mindestanteil innerhalb berechnen
Varianz, Abweichung oder k eingeben – konservative Wahrscheinlichkeit sofort erhalten
Chebyshevs Ungleichung liefert eine garantierte Wahrscheinlichkeitsgrenze – sogar dann, wenn Sie die Verteilung Ihrer Daten nicht kennen. Geben Sie Varianz und eine Abweichung (oder k Standardabweichungen) ein und sehen Sie sofort den maximalen Anteil außerhalb sowie den minimalen Anteil innerhalb. Perfekt für Statistik, Qualitätskontrolle und Risikoabschätzungen – kostenlos & ohne Anmeldung.
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Chebyshev-Ungleichung einfach erklärt: Bedeutung, Formel, Beispiele & Anwendung
Die Chebyshev-Ungleichung (auch: Chebyshev Inequality) liefert eine der wichtigsten Konzentrationsungleichungen der Statistik: Sie gibt eine garantierte Obergrenze dafür, wie groß der Anteil der Werte sein kann, die mindestens eine bestimmte Entfernung vom Mittelwert haben – und damit umgekehrt eine Untergrenze, wie viele Werte mindestens nahe am Mittelwert liegen. Das Besondere: Die Aussage gilt ohne Annahme einer Normalverteilung (oder irgendeiner konkreten Verteilungsform), solange Erwartungswert und Varianz existieren.
Inhaltsverzeichnis
1) Was ist die Chebyshev-Ungleichung?
Chebyshev beantwortet eine sehr praktische Frage: „Wie groß kann der Anteil extremer Abweichungen vom Mittelwert höchstens sein?“ Wenn Sie nur den Mittelwert μ und die Varianz σ² kennen, aber nicht wissen, ob die Daten normalverteilt, schief, mehrgipflig oder schwer-schwänzig sind, liefert Chebyshev eine konservative Sicherheitsgrenze (Worst-Case-Garantie).
2) Formel: außerhalb vs. innerhalb (Tail Bound)
Allgemeine Form (mit Abweichung a):
P(|X − μ| ≥ a) ≤ σ² / a²
Standardisierte Form (mit k Standardabweichungen, a = k·σ):
P(|X − μ| ≥ k·σ) ≤ 1 / k²
Komplement (mindestens innerhalb):
P(|X − μ| < k·σ) ≥ 1 − 1 / k²
Wichtig: Das sind Grenzen, keine exakten Wahrscheinlichkeiten. Die echte Verteilung kann deutlich „besser“ sein, Chebyshev garantiert aber, dass sie nicht „schlechter“ sein kann – sofern die Varianz existiert.
3) Was bedeutet k Standardabweichungen?
Die Standardabweichung σ misst die typische Streuung um den Mittelwert. Mit k geben Sie an, wie weit ein Wert vom Mittelwert entfernt ist, gemessen in „σ-Schritten“:
- k = 1 bedeutet „1 Standardabweichung vom Mittelwert“ (Chebyshev ist hier meist trivial).
- k = 2 liefert: maximal 25% außerhalb, mindestens 75% innerhalb.
- k = 3 liefert: maximal 11,11% außerhalb, mindestens 88,89% innerhalb.
- k = 4 liefert: maximal 6,25% außerhalb, mindestens 93,75% innerhalb.
4) So nutzen Sie den Rechner (2 Wege)
Der Rechner funktioniert bewusst flexibel – je nachdem, welche Information Sie haben:
Variante A: Sie geben k und Varianz σ² ein
- Tragen Sie σ² ein (oder berechnen Sie σ² aus σ: σ² = σ·σ).
- Tragen Sie k ein.
- Wenn das Feld Abweichung leer ist, setzt der Rechner automatisch a = k·σ.
- Sie erhalten: maximal außerhalb und minimal innerhalb.
Variante B: Sie kennen eine konkrete Abweichung a
- Tragen Sie σ² ein.
- Tragen Sie die Abweichung a = |X−μ| ein.
- Der Rechner ermittelt daraus das implizite k = a/σ und berechnet die Grenze σ²/a².
5) Praxisbeispiele mit Interpretation
Beispiel 1: k = 2,5 und Varianz σ² = 25
- σ = √25 = 5
- a = k·σ = 2,5·5 = 12,5
- Außerhalb: P(|X−μ| ≥ 12,5) ≤ 1/k² = 1/6,25 = 0,16 = 16%
- Innerhalb: P(|X−μ| < 12,5) ≥ 84%
Interpretation: Selbst im Worst Case müssen mindestens 84% Ihrer Werte innerhalb von ±12,5 um μ liegen. Mehr ist möglich – Chebyshev ist bewusst vorsichtig.
Beispiel 2: Varianz σ² = 9, Abweichung a = 6
- σ = √9 = 3
- k = a/σ = 6/3 = 2
- Außerhalb: σ²/a² = 9/36 = 25%
- Innerhalb: mindestens 75%
6) Typische Anwendungen
- Qualitätskontrolle: Wie groß kann der Ausschuss (extreme Abweichungen) höchstens sein, wenn nur Streuung bekannt ist?
- Risikobewertung: Konservative Schranken, wie häufig große Abweichungen auftreten können, ohne Modellannahmen.
- Data Science & Monitoring: Schnell prüfen, ob beobachtete Ausreißerhäufigkeit mit einer gegebenen Varianz überhaupt kompatibel ist.
- Statistik lernen: Verständnis für Varianz, Standardabweichung und „Tail Bounds“ – ideal für Klausurvorbereitung.
7) Typische Fehler & Missverständnisse
- „Chebyshev sagt mir die echte Wahrscheinlichkeit.“
Nein – es ist eine Obergrenze (Worst Case). Die Realität ist oft deutlich besser. - k ≤ 1 wird überschätzt.
Für kleine k ist die Grenze häufig trivial oder wenig informativ. Sinnvoll wird es meist erst ab k > 1. - Varianz vs. Standardabweichung verwechseln.
Der Rechner erwartet σ² als Varianz. Wenn Sie σ haben, quadrieren: σ² = σ·σ. - Abweichung a = 0
Chebyshev ist für a > 0 definiert. a = 0 ergibt nur eine „triviale“ Aussage (keine sinnvolle Schranke).
8) FAQ – Häufige Fragen zur Chebyshev-Ungleichung
Wann sollte ich Chebyshev statt Normalverteilung verwenden?
Wenn Sie keine belastbare Verteilungsannahme treffen können (z. B. unbekannte, schiefe oder gemischte Daten) und trotzdem eine Garantie brauchen, ist Chebyshev ideal.
Warum ist Chebyshev so „pessimistisch“?
Weil die Ungleichung für alle Verteilungen mit endlicher Varianz gelten muss – einschließlich extrem ungünstiger Fälle. Das macht die Schranke robust, aber oft konservativ.
Wie interpretiere ich „maximal außerhalb“ konkret?
Wenn der Rechner z. B. ≤ 16% liefert, heißt das: Selbst im ungünstigsten Fall können höchstens 16% der Werte mindestens a vom Mittelwert entfernt sein. Es können also auch nur 2% oder 0,1% sein – Chebyshev legt nur eine obere Grenze fest.
Was ist besser: 1/k² oder σ²/a²?
Das ist dasselbe – nur anders geschrieben. Wenn a = k·σ, dann ist σ²/a² = 1/k². Der Rechner zeigt beides, damit Sie je nach Eingabeform sofort die passende Darstellung sehen.
Gilt Chebyshev auch für diskrete Daten?
Ja – die Ungleichung gilt allgemein für Zufallsvariablen (diskret oder kontinuierlich), solange Erwartungswert und Varianz existieren.
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Daniel Niedermayer
Geschäftsführer
Zuletzt geprüft am: 8. September 2025
Verwendete Quellen
Unsere Methodik
Dieser Rechner basiert auf der Chebyshev-Ungleichung und berechnet konservative Wahrscheinlichkeitsgrenzen ausschließlich aus Varianz bzw. Standardabweichung – ohne Annahmen über die Form der Verteilung. Wir verwenden zwei äquivalente Darstellungen: P(|X−μ| ≥ a) ≤ σ² / a² (Abweichung a) und – bei Standardisierung mit a = k·σ – P(|X−μ| ≥ k·σ) ≤ 1/k². Daraus folgt als Komplement die Untergrenze für den Anteil innerhalb: P(|X−μ| < k·σ) ≥ 1 − 1/k². Wenn Sie keine Abweichung eingeben, setzt der Rechner a = k·σ; geben Sie a vor, wird das implizite k = a/σ automatisch abgeleitet. Alle Ergebnisse werden als Worst-Case-Grenzen ausgegeben (in der Praxis ist der tatsächliche Anteil häufig besser).
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Letzte Aktualisierung: 8. September 2025