Kombinationsrechner – C(n,k), Permutationen & alle 4 Typen
Kombinationen ohne & mit Wiederholung · Variationen · Schrittlösung
Gib einfach n (Grundmenge) und k (Auswahl) ein – und sieh alle 4 kombinatorischen Typen gleichzeitig: Kombinationen ohne Wiederholung C(n,k), mit Wiederholung, Variationen und Permutationen. Optional mit Schrittlösung. Ideal für Klausuren, Lotto-Analyse und Statistik.
Kombinationsanalyse
n = ? k = ?
Alle 4 kombinatorischen Typen im Vergleich
🌡 Wahrscheinlichkeits-Analyse
💡 Einordnung & Praxis-Kontext
Die 4 kombinatorischen Typen — Übersicht
Die abzählende Kombinatorik unterscheidet vier Typen je nachdem ob Reihenfolge wichtig ist und ob Wiederholung erlaubt ist. Die richtige Formel zu wählen ist der entscheidende erste Schritt.
| Typ | Reihenfolge | Wdh. | Formel | Beispiel n=5, k=3 |
|---|---|---|---|---|
| Kombination ohne Wdh. | nein | nein | n! / (k! × (n−k)!) | 10 |
| Kombination mit Wdh. | nein | ja | (n+k−1)! / (k! × (n−1)!) | 35 |
| Variation ohne Wdh. | ja | nein | n! / (n−k)! | 60 |
| Variation mit Wdh. | ja | ja | nᵏ | 125 |
🎯 Entscheidungshilfe: Welcher Typ ist meiner?
Lotto, Teamauswahl, Menükombinationen → Kombination ohne Wiederholung (Reihenfolge egal, kein Doppelt)
PIN-Codes, Schlösser, Passwörter → Variation mit Wiederholung (Reihenfolge wichtig, Ziffer darf wiederholt werden)
Anordnungen, Ranglisten, Startaufstellungen → Variation ohne Wiederholung (Reihenfolge wichtig, jedes Element einmal)
Buffet, Eiskugeln mit Wiederholung → Kombination mit Wiederholung (Reihenfolge egal, Doppelungen erlaubt)
Kombinationen ohne Wiederholung: C(n,k) — der Binomialkoeffizient
Das ist die häufigste Frage: Wie viele Möglichkeiten gibt es, k Objekte aus n auszuwählen, wenn Reihenfolge egal und kein Element doppelt vorkommt?
Formel und effizienter Rechenweg:
C(n,k) = n! / (k! × (n−k)!)
Effizient — nur k Faktoren nötig (kürzt sich vieles weg):
C(n,k) = (n × (n−1) × … × (n−k+1)) / (k × (k−1) × … × 1)
Rechenbeispiel: C(49,6) — Lotto 6 aus 49
C(49,6) = (49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44) / (6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1)
= 10.068.347.520 / 720 = 13.983.816
Jackpot-Chance: 1 : 13.983.816 — bei täglichem Schein im Schnitt 38.312 Jahre Wartezeit.
Rechenbeispiel: C(52,5) — Poker-Hand
Wie viele 5-Karten-Hände gibt es aus einem 52er-Deck?
C(52,5) = (52 × 51 × 50 × 49 × 48) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 311.875.200 / 120 = 2.598.960
Royal Flush: nur 4 mögliche (eine je Farbe) → Chance 4 / 2.598.960 = 1 : 649.740
Variation mit Wiederholung: Passwörter und PINs
Bei Passwörtern und PINs ist die Reihenfolge wichtig und Wiederholungen sind erlaubt — also Variation mit Wiederholung: nᵏ. Das Ergebnis wächst exponentiell mit der Länge.
| Passworttyp | Zeichensatz (n) | Länge (k) | Möglichkeiten |
|---|---|---|---|
| 4-stellige PIN (Ziffern) | 10 | 4 | 10.000 |
| 6-stellige PIN | 10 | 6 | 1.000.000 |
| 8-Zeichen (Kleinbuchstaben) | 26 | 8 | 208.827.064.576 |
| 8-Zeichen (a–z + A–Z) | 52 | 8 | 53.459.728.531.456 |
| 8-Zeichen (a–z + A–Z + 0–9) | 62 | 8 | 218.340.105.584.896 |
| 12-Zeichen (a–z + A–Z + 0–9) | 62 | 12 | 3,226 × 10²¹ |
🔐 Warum Passwortlänge wichtiger ist als Komplexität
8 Zeichen mit Groß/Klein/Ziffern: ~2,2 × 10¹⁴ Möglichkeiten. 12 Zeichen nur Kleinbuchstaben: 26¹² ≈ 9,5 × 10¹⁶ — also 430× mehr. Länge schlägt Komplexität bei Brute-Force-Angriffen fast immer.
Spielwahrscheinlichkeiten im Vergleich
| Spiel / Ereignis | Formel | Möglichkeiten | Trefferchance |
|---|---|---|---|
| Lotto 6/49 | C(49,6) | 13.983.816 | 1 : 13.983.816 |
| Eurojackpot 5/50 + 2/12 | C(50,5) × C(12,2) | 139.838.160 | 1 : 139.838.160 |
| Poker Royal Flush (5 aus 52) | 4 / C(52,5) | 2.598.960 Hände | 1 : 649.740 |
| Poker Full House | Kombinatorisch | 3.744 Hände | 1 : 694 |
| 4-stellige PIN geraten | 10⁴ | 10.000 | 1 : 10.000 |
| Münze 10× Kopf | 1/2¹⁰ | 1.024 | 1 : 1.024 |
Das Pascalsche Dreieck: Binomialkoeffizienten auf einen Blick
Die Binomialkoeffizienten C(n,k) tauchen im Pascalschen Dreieck auf — jede Zahl ist die Summe der beiden darüberliegenden. Zeile n gibt alle C(n,0) bis C(n,n):
n=0: 1
n=1: 1 1
n=2: 1 2 1
n=3: 1 3 3 1
n=4: 1 4 6 4 1
n=5: 1 5 10 10 5 1 ← C(5,2) = 10, C(5,3) = 10
Anwendung: Im Binomischen Lehrsatz sind die Koeffizienten von (a+b)ⁿ genau die n-te Zeile des Pascalschen Dreiecks.
Häufige Fragen zur Kombinatorik
Bei einer Kombination ist die Reihenfolge egal: {A,B} = {B,A}. Bei einer Permutation (Variation) zählt die Reihenfolge: AB ≠ BA. Lotto, Teamauswahl, Menükombinationen → Kombinationen. PIN-Codes, Anordnungen, Ranglisten → Permutationen/Variationen. Merkhilfe: Beim Kombinieren schüttelst du die Auswahl durch — das Ergebnis bleibt gleich. Bei Permutationen nicht.
Ohne Wiederholung: Jedes Element darf nur einmal vorkommen (Lotto: 6 verschiedene Zahlen aus 1–49). Mit Wiederholung: Ein Element darf mehrfach gewählt werden (Würfelwurf: immer aus 1–6, auch doppelt möglich). Bei Kombinationen mit Wiederholung ändert sich die Formel zu C*(n,k) = C(n+k−1, k). Beispiel: 3 Kugeln aus {Rot,Blau,Grün} mit Wiederholung = C(3+3−1, 3) = C(5,3) = 10.
n! = n × (n−1) × … × 2 × 1. Werte: 0! = 1, 5! = 120, 10! = 3.628.800, 20! = 2,43 × 10¹⁸. Fakultät wächst schneller als jede Exponentialfunktion. Praktische Bedeutung: 52! (Anzahl möglicher Kartenmischungen eines Decks) ist größer als die Anzahl der Atome im beobachtbaren Universum — jede Mischung die du je siehst, gab es mit hoher Wahrscheinlichkeit noch nie.
C(10,5) = (10 × 9 × 8 × 7 × 6) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 30.240 / 120 = 252. Mit Wiederholung: C*(10,5) = C(14,5) = 2.002. Kontrolle: C(10,5) = C(10,10−5) = C(10,5) — Kombinationen sind symmetrisch: 5 aus 10 auswählen hat genauso viele Möglichkeiten wie 5 aus 10 weglassen.
Der Binomialkoeffizient C(n,k) = „n über k“ ist identisch mit den Kombinationen ohne Wiederholung. Er taucht auf in: Binomischem Lehrsatz (Koeffizienten von (a+b)ⁿ), Pascalschem Dreieck (Zeile n = alle C(n,k)), Wahrscheinlichkeitsrechnung (Binomialverteilung), Geburtstagsparadoxon (Anzahl der Paare = C(n,2)). Notation: C(n,k), ⁿCₖ, oder das Symbol „n über k“ in runden Klammern.
Alle n Elemente anordnen: P(n) = n!. Beispiel: 5 Bücher auf einem Regal = 5! = 120 Möglichkeiten. Nur k aus n anordnen (Variation ohne Wiederholung): V(n,k) = n! / (n−k)!. Beispiel: Podium mit 3 Plätzen aus 8 Läufern = 8! / 5! = 8 × 7 × 6 = 336. Mit Wiederholung (Passwort): n^k. Beispiel: 4-stellige PIN aus 10 Ziffern = 10⁴ = 10.000.
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Daniel Niedermayer
Geschäftsführer, Fixrechner.de
Zuletzt geprüft: April 2026
Verwendete Quellen
Unsere Methodik
C(n,k): iterative Berechnung via Produktformel (stabil, kein Fakultäts-Overflow). C*(n,k) = C(n+k-1,k). P(n,k) = n×(n-1)×…×(n-k+1). W(n,k) = n^k. Sehr große Werte (>10^15) werden als Näherung in Wissenschaftlicher Notation angegeben.
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Letzte Aktualisierung: April 2026