Münzwurf-Serien Rechner: Wahrscheinlichkeit für Kopf-Serien berechnen

📚 Münzwurf-Serien verstehen: Was sind Streaks – und warum wirken sie „zu extrem“?

Serien (engl. streaks oder runs) sind Folgen gleicher Ergebnisse – z. B. „Kopf, Kopf, Kopf“. Unser Münzwurf-Serien Rechner beantwortet die typische Frage: Wie wahrscheinlich ist eine Kopf-Serie der Länge k in n fairen Münzwürfen – bezogen auf die längste Serie?

1) Was bedeutet „längste Kopf-Serie“?

Die längste Kopf-Serie (oft als L notiert) ist die maximale Anzahl an „Kopf“ in Folge, die innerhalb der gesamten Sequenz von n Münzwürfen vorkommt.

Beispiel bei n=10:
Zahl Kopf Kopf Zahl Kopf Kopf Kopf Zahl Zahl Kopf → längste Kopf-Serie = 3

2) „Genau“, „mindestens“ oder „höchstens“ – welcher Modus passt?

Im Rechner kannst du zwischen drei Ereignissen wählen – immer bezogen auf die längste Kopf-Serie L:

• Genau: P(L = k)
  Sinnvoll, wenn du „exakt diese maximale Serienlänge“ wissen willst.
• Mindestens: P(L ≥ k)
  Das ist meist die praktischste Frage: „Wie wahrscheinlich ist eine Serie von k oder mehr Köpfen am Stück?“
• Höchstens: P(L ≤ k)
  Gut für Grenzen: „Wie wahrscheinlich ist es, dass es keine längere Serie als k gibt?“

Merksatz: „Mindestens“ ist oft die gesuchte Streak-Frage (kommt eine Serie der Länge k überhaupt vor?). „Genau“ ist strenger und daher häufig deutlich kleiner.

3) Beispiele: typische Streak-Fragen (mit Interpretation)

Beispiel A: „Kommt eine 5er-Kopf-Serie in 50 Würfen vor?“

Setze n=50, k=5, Modus mindestens. Ergebnis ist P(L ≥ 5). Je größer n, desto wahrscheinlicher werden längere Serien – auch bei fairer Münze.

Beispiel B: „Ist eine 8er-Serie in 100 Würfen ein Zeichen für eine gezinkte Münze?“

Rechne n=100, k=8, Modus mindestens. Wenn P(L ≥ 8) nicht extrem klein ist, ist die Serie kein starkes Indiz für Betrug – sie kann „normal“ sein. Für gezinkte Münzen (p ≠ 0,5) ist ein eigener Modellschritt nötig – dieser Rechner nimmt eine faire Münze an.

Beispiel C: „Wie wahrscheinlich ist, dass die längste Serie genau 3 ist (n=10)?“

Setze n=10, k=3, Modus genau: Das ist P(L = 3). Diese Wahrscheinlichkeit kann kleiner wirken als „mindestens 3“, weil „genau“ alle Fälle ausschließt, in denen eine 4er- oder 5er-Serie vorkommt.

4) Mathe-Idee: Wie wird P(L ≤ k) berechnet?

Die direkte Zählung aller Münzwurf-Sequenzen wäre bei größeren n unhandlich. Deshalb nutzt der Rechner eine rekursive Methode, die stabil bleibt und ohne riesige Fakultäten auskommt.

• Zentrales Ziel ist zunächst P(L ≤ k) (keine Kopf-Serie länger als k).
• Daraus ergeben sich die anderen Modi elegant:
  • P(L ≥ k) = 1 − P(L ≤ k−1)
  • P(L = k) = P(L ≤ k) − P(L ≤ k−1)

5) FAQs zur Münzwurf-Serie

Was ist eine Kopf-Serie (Streak) beim Münzwurf?

Eine Kopf-Serie ist eine zusammenhängende Folge von Köpfen ohne Unterbrechung. Beispiel: Kopf-Kopf-Zahl-Kopf enthält eine 2er-Serie und eine 1er-Serie.

Was bedeutet „längste Serie“ genau?

Die längste Serie ist die maximale Länge einer Kopf-Folge, die irgendwo in den n Würfen vorkommt. Es zählt also die größte Serie, nicht die Anzahl aller Serien.

Warum ist „mindestens k“ oft viel größer als „genau k“?

„Mindestens k“ umfasst alle Fälle, in denen eine ker-Serie vorkommt – inklusive (k+1), (k+2) usw. „Genau k“ schließt all diese längeren Serien aus.

Ab wann ist eine Serie garantiert?

Garantiert ist eine ker-Serie nicht so simpel wie beim Geburtstagsparadox. Selbst bei vielen Würfen ist es sehr wahrscheinlich, aber nicht deterministisch garantiert – außer bei trivialen Grenzfällen (z. B. k=0).

Kann ich auch eine gezinkte Münze (p ≠ 50%) berechnen?

Dieser Serien-Rechner ist auf die faire Münze ausgerichtet (p=0,5). Wenn du p frei setzen willst, nutze unseren Münzwurf-Binomialrechner für die Anzahl Köpfe – für Streaks mit p≠0,5 braucht man ein erweitertes Modell.

6) Tipps: Fehler vermeiden & Ergebnisse richtig lesen

• k darf nicht größer als n sein – sonst wird automatisch begrenzt.
• „Mindestens“ ist die beste Wahl, wenn du wissen willst, ob eine Serie „auftaucht“.
• Nutze die Verteilungstabelle, um zu sehen, welche Längen typisch sind.
• Die Erwartete längste Kopf-Serie ist ein Richtwert – einzelne Experimente können deutlich abweichen.

7) Passende Rechner

Wenn du verwandte Fragen hast, helfen diese Fixrechner-Rechner:

• Münzwurf-Wahrscheinlichkeit Rechner – Wahrscheinlichkeit für genau / mindestens / höchstens X Köpfe (Binomialverteilung).
• Geburtstagsparadoxon-Rechner – Wahrscheinlichkeit für Treffer durch viele Paarvergleiche (ähnlicher „Überraschungseffekt“).
• Chebyshev-Ungleichung Rechner – konservative Wahrscheinlichkeitsgrenzen ohne Verteilungsannahme.
• Bayes-Theorem-Rechner – Wahrscheinlichkeiten korrekt aktualisieren (Testfehler, Trefferquote, Diagnosen).