Bayes-Theorem-Rechner: Posterior-Wahrscheinlichkeit schnell berechnen
Jetzt Unbekannte wählen & Wahrscheinlichkeiten eingeben – Bayes’ Formel anwenden
Mit unserem Bayes-Theorem-Rechner berechnen Sie bedingte Wahrscheinlichkeiten nach der Bayes-Formel. Wählen Sie, welche Größe unbekannt ist (z. B. P(A|B)) und geben Sie die übrigen Wahrscheinlichkeiten in Prozent ein – der Rechner zeigt Ihnen sofort das Ergebnis inklusive kurzer Interpretation und Visualisierung. Kostenlos, schnell und ohne Anmeldung.
Ihre Bayes-Analyse
Prior, Likelihood, Evidence & Posterior auf einen Blick
Kennzahlenübersicht
Visualisierung
🧠📌 Bayes-Theorem-Rechner: Posterior-Wahrscheinlichkeit verstehen & in Sekunden berechnen
Der Bayes-Theorem-Rechner ist das schnellste Tool, um bedingte Wahrscheinlichkeiten wie P(A|B) (Posterior) zu berechnen – also die Wahrscheinlichkeit, dass A gilt, wenn B bereits beobachtet wurde. Genau das brauchst du überall dort, wo neue Informationen (Evidenz) deine Einschätzung verändern: Diagnostik, Risikobewertung, Qualitätskontrolle, Fraud Detection, A/B-Tests oder Forecasting.
Der entscheidende Gedanke: Bayes verbindet Vorwissen (Prior) mit neuer Evidenz (Likelihood) und liefert eine aktualisierte Wahrscheinlichkeit (Posterior). Unser Rechner macht das sofort – inkl. Interpretation & Visualisierung.
📑 Inhaltsverzeichnis
- Was ist das Bayes-Theorem?
- Die Bayes-Formel einfach erklärt (Posterior, Prior, Likelihood, Evidence)
- So nutzt du den Bayes-Theorem-Rechner (alle 4 Unbekannten)
- Bayes-Formel umstellen: P(A|B), P(B|A), P(A), P(B)
- Bayes in Tests & Diagnostik: Sensitivität, Spezifität & Basisrate
- Base-Rate-Fallacy: Warum Intuition oft falsch liegt
- Praxisbeispiele (Wetter, Medizin, Spamfilter) inkl. Rechenweg
- Typische Fehler & Profi-Tipps
- ❓ XXL-FAQ zum Bayes-Theorem
- ✅ Fazit & 10 passende Fixrechner-Tools
📘 Was ist das Bayes-Theorem?
Das Bayes-Theorem beschreibt, wie sich Wahrscheinlichkeiten aktualisieren, wenn neue Informationen hinzukommen. Statt „aus dem Bauch“ zu entscheiden, rechnest du sauber:
- Prior P(A): Vorwissen über A (z. B. Grundwahrscheinlichkeit, Basisrate)
- Likelihood P(B|A): Wie wahrscheinlich ist Evidenz B, wenn A wahr ist?
- Evidence P(B): Wie häufig tritt B insgesamt auf?
- Posterior P(A|B): Aktualisierte Wahrscheinlichkeit für A nach Beobachtung von B
Die Stärke von Bayes liegt darin, dass du Prior und Evidenz logisch kombinierst. Genau deshalb ist Bayes ein Kernwerkzeug in Statistik, Machine Learning und Diagnostik.
📐 Die Bayes-Formel einfach erklärt
Bayes’ Theorem (Standardform)
P(A|B) = [P(B|A) × P(A)] / P(B)
P(A|B) = Posterior (gesuchte Wahrscheinlichkeit nach Evidenz)
P(A) = Prior (Vorwissen/Basisrate)
P(B|A) = Likelihood (Evidenz unter A)
P(B) = Evidence (Evidenz insgesamt; darf nicht 0 sein)
Intuition: Du startest mit dem Prior P(A). Wenn B unter A häufig ist (P(B|A) hoch) und B insgesamt selten ist (P(B) niedrig), dann schiebt Bayes die Wahrscheinlichkeit stärker Richtung A.
🧭 So nutzt du den Bayes-Theorem-Rechner (alle 4 Unbekannten)
Unser Rechner ist bewusst praxisnah: Du wählst zuerst, welche Größe unbekannt ist – und gibst die anderen Wahrscheinlichkeiten in Prozent an. Die unbekannte Variable wird automatisch deaktiviert und berechnet.
Die 4 Optionen im Rechner
- P(A|B) – Posterior: „Wie wahrscheinlich ist A, wenn B passiert ist?“
- P(B|A) – Likelihood: „Wie wahrscheinlich ist B, falls A zutrifft?“
- P(A) – Prior: „Wie häufig ist A grundsätzlich (Basisrate)?“
- P(B) – Evidence: „Wie häufig ist B insgesamt?“
Pro-Tipp
Nutze P(A) als realistische Basisrate (z. B. Prävalenz, historische Häufigkeit). Bayes ist nur so gut wie der Prior – und genau hier passieren in der Praxis die meisten Fehler.
🧮 Bayes-Formel umstellen: P(A|B), P(B|A), P(A), P(B)
Du kannst Bayes für jede Variable umstellen. Unser Rechner macht das automatisch – aber hier sind die Formeln als Referenz:
| Gesucht | Formel | Typischer Use Case |
|---|---|---|
| P(A|B) | P(A|B) = (P(B|A) × P(A)) / P(B) | Diagnose nach Test, Risiko nach Signal |
| P(B|A) | P(B|A) = (P(A|B) × P(B)) / P(A) | „Wie gut erklärt A die Evidenz?“ |
| P(A) | P(A) = (P(A|B) × P(B)) / P(B|A) | Prior aus Daten rückschließen |
| P(B) | P(B) = (P(B|A) × P(A)) / P(A|B) | Evidence/Grundhäufigkeit ermitteln |
Wichtig: Wenn du eine Größe berechnen willst, darf der Divisor nicht 0 sein (z. B. P(B) bei Posterior-Berechnung).
🧪 Bayes in Tests & Diagnostik: Sensitivität, Spezifität & Basisrate
In Medizin und Screening ist Bayes der Schlüssel, um die Frage zu beantworten:
„Wie wahrscheinlich ist die Krankheit, wenn der Test positiv ist?“
Dabei ist die häufigste Verwechslung: Viele setzen „Test ist positiv“ mit „Krankheit ist sehr wahrscheinlich“ gleich. Bayes zeigt: Ohne Basisrate (Prävalenz) ist diese Schlussfolgerung oft falsch.
Bayes-Logik bei Tests (vereinfachte Zuordnung)
- P(A) = Prävalenz (Wie häufig ist die Krankheit?)
- P(B|A) = Sensitivität (Wie oft ist der Test positiv, wenn krank?)
- P(B) = Positivrate insgesamt (Wie häufig ist der Test positiv?)
- P(A|B) = Post-Test-Wahrscheinlichkeit (Wie wahrscheinlich krank bei positivem Test?)
Wenn du mit Prozenten & Quoten arbeitest, lohnt sich parallel der Prozent-Rechner und der Dezimal in Prozent Rechner, um Werte schnell zu normalisieren.
🧠 Base-Rate-Fallacy: Warum Intuition bei Bayes oft scheitert
Die Base-Rate-Fallacy (Basisraten-Fehlschluss) ist ein Klassiker: Man überschätzt die Aussagekraft eines Signals (B) und ignoriert die Grundhäufigkeit von A.
Merksatz
Ein „starker“ Test kann bei seltenen Ereignissen trotzdem viele Fehlalarme erzeugen – einfach weil die Basisrate niedrig ist.
Bayes zwingt dich, die Basisrate P(A) einzubauen – und schützt dich damit vor systematischen Fehlentscheidungen.
📈 Praxisbeispiele: Bayes verständlich (Wetter, Medizin, Spamfilter)
Beispiel 1: Wetter (wie im Rechner-Default)
A = „Es regnet“, B = „Es ist bewölkt“
P(A)=20%, P(B)=45%, P(B|A)=60%
P(A|B) = (0,60 × 0,20) / 0,45 = 0,2667 = 26,67%
Interpretation: Obwohl Regen insgesamt bei 20% liegt, steigt die Wahrscheinlichkeit bei Bewölkung auf ~26,7%.
Beispiel 2: Medizin (Prior vs. Testsignal)
A = „Krankheit vorhanden“, B = „Test positiv“
Wenn die Prävalenz (Prior) niedrig ist, kann ein positiver Test die Posterior-Wahrscheinlichkeit weniger erhöhen, als man intuitiv denkt. Genau dafür ist Bayes gemacht: Prior + Likelihood → Posterior.
Tipp: Für Prozent-Checks nutze zusätzlich Prozentuale Anteile berechnen.
Beispiel 3: Spamfilter (Bayesian Updating)
Spamfilter funktionieren oft bayesianisch: Bestimmte Wörter/Signale erhöhen die Wahrscheinlichkeit, dass eine Mail Spam ist – aber erst in Kombination mit dem Prior (wie häufig Spam insgesamt ist) entsteht eine robuste Entscheidung.
⚠️ Typische Fehler & Profi-Tipps (damit Bayes wirklich korrekt ist)
- P(B) falsch verstanden: Evidence ist nicht „P(B|A)“. P(B) ist die Gesamthäufigkeit von B.
- Basisrate ignoriert: Ein guter Test ersetzt keine realistische Prävalenz. Prior ist Pflicht.
- Prozent vs. Anteil verwechselt: In Formeln intern als Anteil rechnen (0,20 statt 20%). Der Rechner übernimmt das.
- Unmögliche Kombinationen: Manche Eingaben passen logisch nicht zusammen (z. B. extrem hohe Posterior bei hoher Evidence). Dann Eingaben prüfen.
- Rundungsfehler: Bei sehr kleinen Wahrscheinlichkeiten lieber mit mehr Dezimalstellen arbeiten.
Shortcut für Plausibilität
Wenn P(B) sehr groß ist (B passiert oft), dann wird der Posterior gedämpft. Wenn P(B) klein ist (B passiert selten), kann Bayes den Posterior stark erhöhen – vorausgesetzt P(B|A) ist hoch.
❓ XXL-FAQ zum Bayes-Theorem
Was berechnet der Bayes-Theorem-Rechner genau?
Er berechnet bedingte Wahrscheinlichkeiten nach Bayes. Du kannst wahlweise P(A|B), P(B|A), P(A) oder P(B) als Unbekannte wählen und die übrigen Werte in Prozent eingeben.
Wann nutze ich Bayes statt der einfachen Formel P(A|B)=P(A∩B)/P(B)?
Wenn du P(A∩B) nicht hast, aber P(A) und P(B|A) kennst (und P(B) bzw. ableitbare Evidence). Bayes ist praktisch, wenn du mit Prior + Likelihood arbeitest.
Warum darf P(B) nicht 0 sein?
Weil in der Standardform von Bayes durch P(B) geteilt wird. Ist P(B)=0, ist die Bedingung „B ist eingetreten“ unmöglich – dann ist P(A|B) nicht sinnvoll definiert.
Was bedeuten Prior, Likelihood, Evidence und Posterior?
Prior = Vorwissen P(A), Likelihood = P(B|A), Evidence = P(B), Posterior = aktualisierte Wahrscheinlichkeit P(A|B) nach Beobachtung von B.
Kann P(A|B) größer sein als P(A)?
Ja. Wenn B ein starkes Indiz für A ist (hohes P(B|A)) und B insgesamt nicht „zu häufig“ ist (moderates/kleines P(B)), dann steigt der Posterior gegenüber dem Prior.
Wie nutze ich Bayes für Tests (z. B. Medizin, Qualitätskontrolle)?
Setze P(A) als Prävalenz/Basisrate, P(B|A) als Trefferquote bei echten Positiven (oft Sensitivität), und nutze Bayes, um die Post-Test-Wahrscheinlichkeit zu berechnen. Wichtig: Ohne realistische Basisrate wird das Ergebnis oft überschätzt.
Warum täuscht Intuition bei seltenen Ereignissen?
Weil Menschen die Basisrate unterschätzen. Selbst ein guter Test produziert bei seltenen Ereignissen relativ viele Fehlalarme – Bayes bildet das korrekt ab, indem P(A) (Prior) einfließt.
Wie rechne ich Prozentwerte korrekt in Bayes um?
Intern als Anteile: 20% = 0,20. Der Rechner übernimmt das automatisch. Wenn du manuell rechnest, hilft der Dezimal in Prozent Rechner.
Kann Bayes „falsch“ sein?
Die Formel ist mathematisch korrekt. „Falsch“ wird meist der Input: unrealistische Priors, falsch verstandene Evidence oder Likelihood, oder inkonsistente Prozentangaben.
✅ Fazit: Bayes liefert bessere Entscheidungen – wenn Prior & Evidenz stimmen
Bayes ist der Standard, wenn du Wahrscheinlichkeiten nach neuen Informationen aktualisieren willst. Der größte Hebel ist fast immer die Basisrate (Prior): Wer sie ignoriert, landet schnell bei falschen Schlussfolgerungen. Mit unserem Bayes-Theorem-Rechner rechnest du Posterior, Prior, Likelihood und Evidence in Sekunden – inklusive Visualisierung.
🔗 10 passende Fixrechner-Tools (für Quoten, Tests, Performance & Entscheidungen)
- Prozent-Rechner – Prozentwerte sauber rechnen (Basis für Bayes-Eingaben)
- Dezimal in Prozent Rechner – Anteile ↔ Prozent blitzschnell umrechnen
- Prozentuale Anteile berechnen – Quoten, Häufigkeiten & Verteilungen
- Dreisatz-Rechner – schnelle Umstellungen & Plausibilitätschecks
- Accuracy-Rechner – Genauigkeit, Sensitivität & Spezifität auswerten
- Klickraten-Rechner (CTR) – bedingte „Trefferquoten“ im Marketing verstehen
- Conversion-Rate Vergleichs-Rechner – Quoten vergleichen & Entscheidungen verbessern
- Churn-Rate Rechner – Risiko-/Abwanderungswahrscheinlichkeiten berechnen
- ROI-Rechner – Entscheidungen wirtschaftlich bewerten
- ROAS Vergleichsrechner – Performance nach Evidenz (Daten) optimieren
„Bayes ist kein Trick – es ist Update-Logik.“ Wer Prior und Evidenz sauber trennt, entscheidet messbar besser.
Vertrauen Sie unserer Expertise
Daniel Niedermayer
Geschäftsführer
Zuletzt geprüft am: 8. September 2025
Verwendete Quellen
Unsere Methodik
Dieser Rechner basiert auf den mathematischen Grundlagen der Zinseszinsrechnung und verwendet die standardisierten Formeln für verschiedene Ausschüttungsintervalle. Die Berechnungen berücksichtigen alle relevanten Parameter für eine präzise Vermögensplanung.
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Head of Sales & Business Development
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Letzte Aktualisierung: 8. September 2025